Question

3．如圖所示，$\overrightarrow{|AB}|=2，\overrightarrow{|AC}|=1，∠BAC={120°}$，O為△ABC的內(nèi)心，則$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$的值為$\frac{{3-\sqrt{7}}}{2}$．

Answer 1

分析 利用內(nèi)心的性質(zhì)求出OA的長和∠OAC，代入數(shù)量積公式計算．

解答 解：設△ABC的內(nèi)切圓為⊙O與AC，AB，BC的切點分別為D，E，F(xiàn)，連結OD，OE，OF，OA，
∴OD⊥AC，∠OAD=$\frac{1}{2}$∠BAC=60°，設AD=x，則AE=AD=x，OA=2AD=2x，
∴CF=CD=1-x，BF=BE=2-x，
∵BC=$\sqrt{A{C}^{2}+A{B}^{2}-2AB•ACcos∠BAC}$=$\sqrt{7}$．
∴1-x+2-x=$\sqrt{7}$，解得x=$\frac{3-\sqrt{7}}{2}$，
∴OA=2x=3-$\sqrt{7}$，
∴$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}$=OA•AC•cos∠OAD=（3-$\sqrt{7}$）•1•cos60°=$\frac{{3-\sqrt{7}}}{2}$．
故答案為$\frac{{3-\sqrt{7}}}{2}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，利用內(nèi)心的性質(zhì)是關鍵．