Question

11．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-2ax-alnx$對區(qū)間（1，2）上任意x₁，x₂（x₁≠x₂），都有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}＜0$，則a的取值范圍為（　　）

• A． $（{\frac{4}{5}，+∞}）$
• B． $[{\frac{4}{5}，+∞}）$
• C． $[{\frac{1}{3}，+∞}）$
• D． （-∞，1）∪（0，+∞）

Answer 1

分析 由題意可得f′（x）≤0在x∈（1，2）上恒成立，即x²-2ax-a≤0成立，令g（x）=x²-2ax-a，得到關(guān)于a的不等式組，即可得出結(jié)論．

解答 解：f′（x）=x-2a-$\frac{a}{x}$，
∴f′（x）≤0在x∈（1，2）上恒成立，
即x-2a-$\frac{a}{x}$≤0，在x∈（1，2）上恒成立，
即x²-2ax-a≤0，
令g（x）=x²-2ax-a，
則$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≤0}\\{g（2）≤0}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{1-3a≤0}\\{4-5a≤0}\end{array}\right.$，
解得a≥$\frac{4}{5}$，
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性知識及轉(zhuǎn)化劃歸思想的運(yùn)用能力，屬中檔題．