Question

19．（1）已知Z是復數(shù)，Z+2i，$\frac{Z}{2-i}$均為實數(shù)，且復數(shù)（Z+ai）²在復平面上對應的點在第一象限，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）已知兩個向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$對應的復數(shù)是z₁=3和z₂=-5+5i，求向量$\vec a$與$\vec b$的夾角．

Answer 1

分析 （1）利用復數(shù)的運算法則和幾何意義即可得出．
（2）根據(jù)向量的夾角公式計算即可

解答 解：（1）設z=c+di，則z+2i=c+（d+2）I為實數(shù)，
∴d=-2，即z=c-2i，
又$\frac{z}{2-i}=\frac{c-2i}{2-i}=\frac{2c+2+（c-4）i}{5}$為實數(shù)，
∴c=4，
∴z=4-2i．
而（z+ai）²=（4-2i+ai）²=16-（2-a）²-8（2-a）i 對應的點在第一象限，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{16-{{（2-a）}^2}＞0}\\{-8（2-a）＞0}\end{array}}\right.$，
解得2＜a＜6．
（2）設$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為α，$\overrightarrow a$=（3，0），$\overrightarrow b$=（5，5），
則$cosα=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{{|{\overrightarrow a}|•|{\overrightarrow b}|}}=\frac{3×（-5）-0×5}{{3•\sqrt{25+25}}}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∵0≤α≤π，
∴α=$\frac{3}{4}$π．

點評 本題考查了復數(shù)的幾何意義、不等式組的解法等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．