Question

9．已知三棱錐E-ABD各個(gè)面均為直角三角形，且Rt△ADE的直角頂點(diǎn)為A，其中AE=AB，∠ABD=$\frac{π}{6}$，以AB為直徑在平面ABD內(nèi)畫(huà)圓，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，任取圓上一點(diǎn)C（不與A，B兩點(diǎn)重合）．
（1）求證：△BCE為直徑三角形；
（2）若四邊形ABCE為一個(gè)等腰梯形，且BC=1，求幾何體C-BDE的體積．

Answer 1

分析 （1）證明BC⊥平面ACE，可得BC⊥EC，從而△BCE為直角三角形；
（2）幾何體C-BDE的體積=幾何體E-BCD的體積，利用體積公式可得結(jié)論．

解答 （1）證明：由題意，AE⊥平面ABD，則AE⊥BC，
∵AB為直徑，∴AC⊥BC，
∵AC∩AE=A，
∴BC⊥平面ACE，
∴BC⊥EC，
∴△BCE為直角三角形；
（2）解：由∠ABD=$\frac{π}{6}$，四邊形ABCD為一個(gè)等腰梯形，且BC=1，可得DC=1，∠BCD=120°，
∴S_△BCD=$\frac{1}{2}×1×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵AE=AB=2
∴幾何體C-BDE的體積=幾何體E-BCD的體積=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×2$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定，考查幾何體體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．