Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的極值；

（2）對(duì)于曲線上的不同兩點(diǎn)，如果存在曲線上的點(diǎn)，且使得曲線在點(diǎn)處的切線，則稱為弦的伴隨直線，特別地，當(dāng)時(shí)，又稱為的—伴隨直線．

①求證：曲線的任意一條弦均有伴隨直線，并且伴隨直線是唯一的；

②是否存在曲線，使得曲線的任意一條弦均有—伴隨直線？若存在，給出一條這樣的曲線，并證明你的結(jié)論；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）…………………………………… 2分

當(dāng)，，函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，

∴函數(shù)沒有極值。 ……………………………… 3分

當(dāng)時(shí)，令，得。

當(dāng)變化時(shí)，與變化情況如下表：

	＋	0	－
	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

∴當(dāng)時(shí)，取得極大值。

綜上，當(dāng)時(shí)，沒有極值；

當(dāng)時(shí)，的極大值為，沒有極小值。 ……………5分

（Ⅱ）（ⅰ）設(shè)是曲線上的任意兩點(diǎn)，要證明

有伴隨切線，只需證明存在點(diǎn)，使得

，且點(diǎn)不在上。 ……………………7分

∵，即證存在，使得，即成立，且點(diǎn)不在上。 …………………8分

以下證明方程在內(nèi)有解。

記，則。

令，

∴，

∴在內(nèi)是減函數(shù)，∴。

取，則，即。……9分

同理可證。∴。

∴函數(shù)在內(nèi)有零點(diǎn)。

即方程在內(nèi)有解。………………10分

又對(duì)于函數(shù)取，則

可知，即點(diǎn)Q不在上。

是增函數(shù)，∴的零點(diǎn)是唯一的，

即方程在內(nèi)有唯一解。

綜上，曲線上任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的。…… 11分

（ⅱ）取曲線C：，則曲線的任意一條弦均有伴隨切線。

證明如下：設(shè)是曲線C上任意兩點(diǎn)，

則，

又，

即曲線C：的任意一條弦均有伴隨切線。

【解析】略