Question

如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，G是線段EF的中點(diǎn)，且B點(diǎn)在平面AGC內(nèi)的射影在CG上．
（Ⅰ）求證：AG⊥平面BGC；
（Ⅱ）求二面角B-AC-G的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)B點(diǎn)在平面AGC內(nèi)的射影為H，則H在CG上，由BH⊥平面AGC，知BH⊥AG，BC⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，則BC⊥平面ABEF，又AG?平面ABEF，BC⊥AG，又BH、BC?平面BGC，根據(jù)線面垂直的判定定理可知AG⊥平面BGC；
（Ⅱ）過(guò)G作GM⊥AB于M，過(guò)M作MN⊥AC于N，連NG，根據(jù)平面ABCD⊥平面ABEF，GM⊥AB，則GM⊥平面ABCD，又MN⊥AC，所以NG⊥AC，
從而∠GNM就是二面角B-AC-G的平面角，在平面ABEF內(nèi)，由ABEF是矩形，G是EF的中點(diǎn)，GM⊥AB，可得M是AB的中點(diǎn)，AG⊥平面BGC，則AG⊥GB，AB=2GM=2AF，設(shè)AF=a，則AB=2a，又，可求出tan∠GNM，從而得到結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)B點(diǎn)在平面AGC內(nèi)的射影為H，則H在CG上，由BH⊥平面AGC，知BH⊥AG，∵ABCD為正方形，∴BC⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，
∴BC⊥平面ABEF，又AG?平面ABEF，
∴BC⊥AG，又BH、BC?平面BGC，
∴AG⊥平面BGC；
（Ⅱ）過(guò)G作GM⊥AB于M，過(guò)M作MN⊥AC于N，連NG，
∵平面ABCD⊥平面ABEF，GM⊥AB，∴GM⊥平面ABCD，又MN⊥AC，
∴NG⊥AC，
∴∠GNM就是二面角B-AC-G的平面角，在平面ABEF內(nèi)，由ABEF是矩形，G是EF的中點(diǎn)，GM⊥AB，可得M是AB的中點(diǎn)，
又∵AG⊥平面BGC，∴AG⊥GB，
∴AB=2GM=2AF，設(shè)AF=a，則AB=2a，又，
∴tan∠GNM=，∴，
∴二面角B-AC-G的大小為arctan．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及平面與平面垂直的性質(zhì)和二面角的度量，同時(shí)考查了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力，屬于中檔題．