Question

9．求法向量為（1，-2）且與圓x²+y²-2y-4=0相切的直線方程．

Answer 1

分析 根據向量的法向量，求出切線的斜率，利用直線和圓相切的等價條件進行求解即可．

解答 解：∵直線的法向量為（1，-2），
∴直線的斜率k=$\frac{1}{2}$，
設切線方程為y=$\frac{1}{2}$x+b，即$\frac{1}{2}$x-y+b=0，
即x-2y+2b=0，
圓的標準方程為x²+（y-1）²=5，
圓心坐標為（0，1），半徑R=$\sqrt{5}$，
當直線和圓相切時，圓心到直線的距離d=$\frac{|2b-2|}{\sqrt{1+{2}^{2}}}$=$\frac{|2b-2|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$，
即|2b-2|=5，
解得b=$\frac{7}{2}$或b=-$\frac{3}{2}$，
故切線方程為y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$，y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，根據直線和圓相切的等價條件是解決本題的關鍵．