Question

在直角坐標(biāo)系XOY中，已知點(diǎn)A（1，0），B（-1，0），C（0，1），D（0，-1），動點(diǎn)M滿足•=m（•-|-|），其中m是參數(shù)（m∈R）
（I）求動點(diǎn)M的軌跡方程，并根據(jù)m的取值討論方程所表示的曲線類型；
（II）當(dāng)動點(diǎn)M的軌跡表示橢圓或雙曲線，且曲線與直線l：y=x+2交于不同的兩點(diǎn)時，求該曲線的離心率的取值范圍．

Answer 1

解：（I）設(shè)動點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）
由題意得=（x-1，y），=（x+1，y）
=（x，y-1），=（x，y+1），=（x，y）
∴•=x²-1+y²，•-=x²+y²-1=y²-1
化簡得動點(diǎn)M的軌跡方程為x²+（1-m）y²=1-m
當(dāng)m=1時，x²=0，即x=0，動點(diǎn)M的軌跡是一條直線；
當(dāng)m≠1時，方程可以化為：
此時，當(dāng)m=0時，動點(diǎn)M的軌跡是一個圓；
當(dāng)m＜0，或0＜m＜1時，動點(diǎn)M的軌跡是一個橢圓
當(dāng)m＞1時，動點(diǎn)M的軌跡是一條雙曲線
（II）當(dāng)m≠1且m≠0時，由得x²+（1-m）（x²+4x+4）=1-m∴（2-m）x²+4（1-m）x+3（1-m）=0
∵l與該圓錐曲線交于不同的兩個點(diǎn)∴
即∴m＞1且m≠2或m＜-2
（1）m＞1且m≠2時，圓錐曲線表示雙曲線
其中，a²=1，b²=m-1，c²=m∴且
（2）當(dāng)m＜-2時，該圓錐曲線表示橢圓：
其中a²=1-m，b²=1，c²=-m∵∴
綜上：該圓錐曲線的離心率e的取值范圍是．
分析：（I）設(shè)M（x，y），利用題目中向量的坐標(biāo)運(yùn)算，求得向量的坐標(biāo)后代入題中向量條件，化簡即得軌跡方程，為了說明它是什么類型，必須對參數(shù)m進(jìn)行討論；
（II）將直線的方程代入圓錐曲線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根的判別式求得m的范圍，再分類討論：（1）m＞1且m≠2時，（2）當(dāng)m＜-2時，分別求出該圓錐曲線的離心率e的取值范圍即可．
點(diǎn)評：本題主要考查了軌跡方程的問題、直線與圓錐曲線的綜合問題、向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查分類討論思想以及等價轉(zhuǎn)化能力．