Question

8．已知實數(shù)x，y滿足不等式組$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ x+2y-5≥0\\ y-2≤0\end{array}\right.$且z=2x-y的最大值為a，則$\int_0^π{a{{cos}^2}}\frac{x}{2}dx$=3π．

Answer 1

分析 作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，利用平移法進行求解得a的值，結合函數(shù)的積分公式進行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=2x-y得y=2x-z，
平移直線y=2x-z，
由圖象可知當直線y=2x-z經(jīng)過點B時，直線y=2x-z的截距最小，
此時z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x-y-2=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，即B（4，2）
即a=z_max=2×4-2=6，
則$\int_0^π{a{{cos}^2}}\frac{x}{2}dx$=6∫${\;}_{0}^{π}$$\frac{1}{2}$（1+cosx）dx=3（x+sinx）|${\;}_{0}^{π}$=3π，
故答案為：3π．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結合數(shù)形結合的數(shù)學思想以及函數(shù)的積分公式是解決此類問題的基本方法．