Question

3．已知雙曲線${C_1}：\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$與雙曲線${C_2}：\frac{x^2}{2}-{y^2}=-1$，給出下列說法，其中錯誤的是（　　）

• A． 它們的焦距相等
• B． 它們的焦點在同一個圓上
• C． 它們的漸近線方程相同
• D． 它們的離心率相等

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由兩個雙曲線的方程計算出兩個雙曲線的焦點坐標、焦距、漸進性方程以及離心率，進而分析選項即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，雙曲線${C_1}：\frac{x^2}{2}-{y^2}=1$，其中a=$\sqrt{2}$，b=1，則c=$\sqrt{2+1}$=$\sqrt{3}$，
則其焦距2c=2$\sqrt{3}$，焦點坐標為（±$\sqrt{3}$，0），漸進線為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
雙曲線${C_2}：\frac{x^2}{2}-{y^2}=-1$，其標準方程為y²-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1，其中a=1，b=$\sqrt{2}$，則c=$\sqrt{2+1}$=$\sqrt{3}$，
則其焦距2c=2$\sqrt{3}$，焦點坐標為（0，±$\sqrt{3}$），漸進線為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$；
據(jù)此依次分析選項：
對于A、兩個雙曲線的焦距都為2$\sqrt{3}$，A正確；
對于B、雙曲線C₁焦點坐標為（±$\sqrt{3}$，0），雙曲線C₂焦點坐標為（0，±$\sqrt{3}$），都在圓x²+y²=3上，B正確；
對于C、兩個雙曲線的漸進線為y=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，C正確；
對于D、雙曲線C₁離心率為$\frac{\sqrt{6}}{2}$，雙曲線C₂的離心率為$\sqrt{3}$，不正確；
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的標準方程，注意將雙曲線的方程變形為標準方程．