Question

如圖，已知直線(xiàn)l₁：y=2x+m（m＜0）與拋物線(xiàn)C₁：y=ax²（a＞0）和圓C₂：x²+（y+1）²=5都相切，F(xiàn)是C₁的焦點(diǎn)．
（1）求m與a的值；
（2）設(shè)A是C₁上的一動(dòng)點(diǎn)，以A為切點(diǎn)作拋物線(xiàn)C₁的切線(xiàn)l，直線(xiàn)l交y軸于點(diǎn)B，以FA，F(xiàn)B為鄰邊作平行四邊形FAMB，證明：點(diǎn)M在一條定直線(xiàn)上；
（3）在（2）的條件下，記點(diǎn)M所在的定直線(xiàn)為l₂，直線(xiàn)l₂與y軸交點(diǎn)為N，連接MF交拋物線(xiàn)C₁于P，Q兩點(diǎn)，求△NPQ的面積S的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑求出m，再利用導(dǎo)函數(shù)與切線(xiàn)的關(guān)系求出a的值即可．
（2）先求出以A為切點(diǎn)的切線(xiàn)l的方程以及點(diǎn)A，B的表達(dá)式，再利用以FA，F(xiàn)B為鄰邊作平行四邊形FAMB，結(jié)合向量運(yùn)算即可求出點(diǎn)M所在的定直線(xiàn)．
（3）設(shè)直線(xiàn)MF：y=kx+

3

2

，代入y=

1

6

x2得：

1

6

x2-kx-

3

2

=0，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系及三角形面積公式得出面積的表達(dá)式，最后利用函數(shù)思想即可求得△NPQ的面積S的取值范圍．

解答：解：（1）由已知，圓C₂：x²+（y+1）²=5的圓心為C₂（0，-1），半徑 r=

5

．（1分）
由題設(shè)圓心到直線(xiàn)l₁：y=2x+m的距離 d=

|1+m|

22+(-1)2

．（3分）
即

|1+m|

22+(-1)2

=

5

，
解得m=-6（m=4舍去）．（4分）
設(shè)l₁與拋物線(xiàn)的相切點(diǎn)為A₀（x₀，y₀），又y′=2ax，（5分）
得 2ax0=2?x0=

1

a

，y0=

1

a

．（6分）
代入直線(xiàn)方程得：

1

a

=

2

a

-6，∴a=

1

6

所以m=-6，a=

1

6

．（7分）
（2）由（1）知拋物線(xiàn)C₁方程為 y=

1

6

x2，焦點(diǎn) F(0，

3

2

)．（8分）
設(shè) A(x1，

1

6

x

2 1

)，由（1）知以A為切點(diǎn)的切線(xiàn)l的方程為 y=

1

3

x1(x-x1)+

1

6

x

2 1

．（10分）
令x=0，得切線(xiàn)l交y軸的B點(diǎn)坐標(biāo)為 (0，-

1

6

x

2 1

)（11分）
所以

FA

=(x1，

1

6

x

2 1

-

3

2

)，

FB

=(0，-

1

6

x

2 1

-

3

2

)，（12分）
∴

FM

=

FA

+

FB

=(x1，-3)（13分）
因?yàn)镕是定點(diǎn)，所以點(diǎn)M在定直線(xiàn) y=-

3

2

上．（14分）
（3）設(shè)直線(xiàn)MF：y=kx+

3

2

，代入y=

1

6

x2得：

1

6

x2-kx-

3

2

=0，得x₁+x₂=6k，x₁x₂=-9．
S_△NPQ=

1

2

|NF||x₁-x₂|=

1

2

×3×

(x 1+x 2)  2 -4x 1x 2

=9

1+k2

∵k≠0，∴S_△NPQ＞9，
△NPQ的面積S的取值范圍（9，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)圓與橢圓知識(shí)的綜合考查．當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)，可以利用圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑求解．，也可以把直線(xiàn)與圓的方程聯(lián)立讓對(duì)應(yīng)方程的判別式為0求解．本題用的是第一種