Question

1．已知函數(shù)f（x）=-x²+mlnx（m∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若m=2時(shí)，函數(shù)f（x）與$g（x）=x-\frac{a}{x}（a∈R）$有相同極值點(diǎn)．
①求實(shí)數(shù)a的值；
②若對(duì)于$?{x_1}，{x_2}∈[{\frac{1}{e}，5}]$（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），不等式$\frac{{f（{x_1}）-g（{x_2}）}}{t+1}≤1$恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）①求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的極值點(diǎn)求出a的值，②求出函數(shù)的最大值和最小值，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為t≤[f（x₁）-g（x₂）]_min-1，從而求出t的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=-2x+$\frac{m}{x}$，x＞0，
若m≤0，則f′（x）=-2x+$\frac{m}{x}$＜0恒成立，
若m＞0，則f′（x）=-2x+$\frac{m}{x}$＞0，x＞0，∴0＜x＜$\sqrt{\frac{m}{2}}$，
f′（x）=-2x+$\frac{m}{x}$＜0，x＞0，∴x＞$\sqrt{\frac{m}{2}}$，
綜上，m≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間是（0，+∞），無(wú)遞增區(qū)間；
m＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，$\sqrt{\frac{m}{2}}$）遞增，在（$\sqrt{\frac{m}{2}}$，+∞）遞減；
（2）①∵g（x）=x-$\frac{a}{x}$，∴g′（x）=1+$\frac{a}{{x}^{2}}$，
由（1）知m=2時(shí)，x=$\sqrt{\frac{m}{2}}$=1是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，
故x=1是函數(shù)g（x）的極值點(diǎn)，
∴g′（1）=1+a=0，解得：a=-1；
經(jīng)檢驗(yàn)a=-1時(shí)，函數(shù)g（x）在x=1時(shí)取極小值，符合題意；
②∵f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{{e}^{2}}$-2，f（1）=-1，f（5）=-25+2ln5，
易知f（5）＜f（$\frac{1}{e}$）＜f（1），
?x₁∈[$\frac{1}{e}$，5]，f（x）_min=f（5）=-25+2ln5，f（x）_max=f（1）=-1，
由①知g（x）=x+$\frac{1}{x}$，∴g′（x）=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$，
故x∈[$\frac{1}{e}$，1）時(shí)，g′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，5]時(shí)，g′（x）＞0，
故 g（x）在[$\frac{1}{e}$，1）上遞減，在（1，5]遞增，
∵g（$\frac{1}{e}$）=e+$\frac{1}{e}$，g（1）=2，g（5）=$\frac{26}{5}$，
而2＜e+$\frac{1}{e}$＜$\frac{26}{5}$，∴g（1）＜g（$\frac{1}{e}$）＜g（5），
∴?x₂∈[$\frac{1}{e}$，5]，g（x₂）_min=g（1）=2，g（x₂）_max=g（5）=$\frac{26}{5}$；
（i）當(dāng)t+1＜0即t＜-1時(shí)，對(duì)于?x₁，x₂∈[$\frac{1}{e}$，5]，$\frac{f{（x}_{1}）-g{（x}_{2}）}{t+1}$≤1恒成立
?t+1≤[f（x₁）-g（x₂）]_min?t≤[f（x₁）-g（x₂）]_min-1，
∵f（x₁）-g（x₂）≥f（3）-g（3）=-25+2ln5-$\frac{26}{5}$=-$\frac{151}{5}$+2ln5，
∴t≤-$\frac{151}{5}$+2ln5-1=-$\frac{156}{5}$+2ln5，又t＜-1，
∴t≤-$\frac{156}{5}$+2ln5，
當(dāng)t+1＞0即t＞-1時(shí)，對(duì)于?x₁，x₂∈[$\frac{1}{e}$，5]，$\frac{f{（x}_{1}）-g{（x}_{2}）}{t+1}$≤1恒成立，
?t+1≥[f（x₁）-g（x₂）]_max?t≥[f（x₁）-g（x₂）]_max-1，
∵f（x₁）-g（x₂）≤f（1）-g（1）=-1-2=-3，
故t≥-3-1=-4，
綜上，t的范圍是（-∞，-$\frac{156}{5}$+2ln5]∪[-4，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．