Question

11．對于函數f（x）與g（x）和區(qū)間D，如果存在x₀∈D，使|f（x₀）-g（x₀）|≤1，則稱x₀是函數f（x）與g（x）在區(qū)間D上的“友好點”．現給出兩個函數：
①f（x）=x²，g（x）=2x-2；②$f（x）=\sqrt{x}$，g（x）=x+2；
③f（x）=e^-x，$g（x）=-\frac{1}{x}$；④f（x）=lnx，g（x）=x．
則在區(qū)間（0，+∞）上存在唯一“友好點”的是①④．（填上所有正確的序號）

Answer 1

分析 根據“友好點”的定義，分別進行判斷即可．

解答 解：①f（x）-g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，∴要使|f（x₀）-g（x₀）|≤1，則只有當x₀=1時，滿足條件，
∴在區(qū)間（0，+∞）上的存在唯一“友好點”，∴①正確．
②g（x）-f（x）=x-$\sqrt{x}$+2=$（\sqrt{x}-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{7}{4}≥\frac{7}{4}＞1$，∴不存在x₀∈D，使|f（x₀）-g（x₀）|≤1，∴函數不存在“友好點”，∴②錯誤．
③設h（x）=f（x）-g（x）=e^-x+$\frac{1}{x}$則函數h（x）在（0，+∞）上單調減，∴x→0，h（x）→+∞，x→+∞，h（x）→0，使|f（x₀）-g（x₀）|≤1的x₀不唯一，
∴③不滿足條件，∴③錯誤．
④h（x）=g（x）-f（x）=x-lnx，（x＞0），h′（x）=1-$\frac{1}{x}$，
令h′（x）＞0，可得x＞1，令h′（x）＜0，可得0＜x＜1，
∴x=1時，函數取得極小值，且為最小值，最小值為h（1）=1-0=1，
∴g（x）-f（x）≥1，
∴當x₀=1時，使|f（x₀）-g（x₀）|≤1的x₀唯一，∴④滿足條件．
故答案為：①④．

點評 本題主要考查對新定義的理解與運用，考查函數最值的判斷，綜合性較強，難度較大，考查學生分析問題的能力．