Question

6．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，$\overrightarrow a=（{a_1}，1），\overrightarrow b=（1，{a_{10}}）$，若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=24$，且S₁₁=143，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，且滿足${2^{{a_n}-1}}=λ{T_n}-（{a_1}-1）（n∈{N^*}）$．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式及數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和M_n
（Ⅱ）是否存在非零實數(shù)λ，使得數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列？并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，利用數(shù)量積運算性質(zhì)可得：a₁+a₁₀=24，又S₁₁=143，解得a₁，d，可得數(shù)列的通項公式，再利用“裂項求和”方法即可得出．
（Ⅱ）由${2^{{a_n}-1}}=λ{T_n}-（{a_1}-1）（n∈{N^*}）$，且a₁=3，可得${T_n}=\frac{1}{λ}{4^n}+\frac{2}{λ}$，對n分類討論，利用等比數(shù)列的定義即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由$\overrightarrow a=（{a_1}，1），\overrightarrow b=（1，{a_{10}}）$，$\overrightarrow a•\overrightarrow b=24$，
∴a₁+a₁₀=24，又S₁₁=143，
解得a₁=3，d=2，因此數(shù)列的通項公式是${a_n}=2n+1（n∈{N^*}）$，
∴$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}}）$，
∴${M_n}=\frac{1}{2}（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}}）=\frac{n}{6n+9}$．
（Ⅱ）∵${2^{{a_n}-1}}=λ{T_n}-（{a_1}-1）（n∈{N^*}）$，且a₁=3，可得${T_n}=\frac{1}{λ}{4^n}+\frac{2}{λ}$，
當n=1時，${b_1}=\frac{6}{λ}$；
當n≥2時，${b_n}={T_n}-{T_{n-1}}=\frac{3}{λ}{4^{n-1}}$，此時有$\frac{b_n}{{{b_{n-1}}}}=4$，
若是{b_n}等比數(shù)列，則有有$\frac{b_2}{b_1}=4$，而${b_1}=\frac{6}{λ}$，${b_2}=\frac{12}{λ}$，彼此相矛盾，
故不存在非零實數(shù)，使數(shù)列為等比數(shù)列．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義與通項公式、“裂項求和”方法、向量的數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了分類討論、推理能力與計算能力，屬于中檔題．