Question

已知函數(shù)f（x）＝ex－ax－1（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），a＞0．

（1）若函數(shù)f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)，證明：aa＝ea－1；

（2）若f（x）≥0對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值集合．

 

Answer 1

（1）見(jiàn)解析；（2）{1}.

【解析】

試題分析：（1）先判斷f（x）的單調(diào)性，根據(jù)“f（x）前有一個(gè)零點(diǎn)”，找到關(guān)于a的等式，化簡(jiǎn)整理可得需證結(jié)論；（2）根據(jù)（1），只需f（x）的最小值不小于0即可.

試題解析：（1）證明： 由，得．

由＞0，即＞0，解得x＞lna，同理由＜0解得x＜lna，

∴ f（x）在（－∞，lna）上是減函數(shù)，在（lna，＋∞）上是增函數(shù)，

于是f（x）在x＝lna取得最小值．

又∵ 函數(shù)f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)，則，

即．

化簡(jiǎn)得：，

∴ ．

（2）【解析】
由（1）知，在取得最小值，

由題意得≥0，即≥0，

令，則，

由可得0＜a＜1，由可得a＞1．

∴ h（a）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，＋∞）上單調(diào)遞減，即，

∴ 當(dāng)0＜a＜1或a＞1時(shí)，h（a）＜0，

∴ 要使得f（x）≥0對(duì)任意x∈R恒成立，a＝1

∴ a的取值集合為{1}

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的零點(diǎn)，恒成立問(wèn)題