Question

2．已知函數f（x）=sin2ωx+$\sqrt{3}$sinωx•sin（ωx+$\frac{π}{2}$）（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）求函數f（x）在區(qū)間[0，$\frac{2π}{3}$]上的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數的倍角公式進行化簡結合函數的周期即可求ω的值；
（2）求出函數在[0，$\frac{2π}{3}$]上角的范圍，結合三角函數的單調性進行求解即可．

解答 解：（1）f（x）=sin2ωx+$\sqrt{3}$sinωx•sin（ωx+$\frac{π}{2}$）=sin2ωx+$\sqrt{3}$sinωx•cosωx
=sin2ωx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx=（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）sin2ωx，
∵函數f（x）的最小正周期為π．
∴T=$\frac{2π}{2ω}$=π．
即ω=1．
（2）∵ω=1，
∴f（x）=（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）sin2x，
若0≤x≤$\frac{2π}{3}$，則0≤2x≤$\frac{4π}{3}$，
∴當2x=$\frac{4π}{3}$時，函數取得最小值為（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）sin$\frac{4π}{3}$=-（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3}{4}$，
當2x=$\frac{π}{2}$時，函數取得最大值為（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$）sin$\frac{π}{2}$=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故函數f（x）的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\frac{3}{4}$，1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

點評 本題主要考查三角函數性質的應用，利用倍角公式結合周期公式求出ω的值是解決本題的關鍵．