Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x－－ln a(x>0，a>0且為常數(shù))．

(1)當(dāng)k＝1時，判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并加以證明；

(2)當(dāng)k＝0時，求證：f(x)>0對一切x>0恒成立；

(3)若k<0，且k為常數(shù)，求證：f(x)的極小值是一個與a無關(guān)的常數(shù)．

 

Answer 1

（1）見解析 （2）見解析 （3）見解析

【解析】【解析】
(1)當(dāng)k＝1時，

f(x)＝ln x－·x＋x－－ln a，

因為f′(x)＝－·x－－x－

＝－≤0，

所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)．

(2)證明：當(dāng)k＝0時，

f(x)＝ln x＋x－－ln a，故

f′(x)＝－＝.

令f′(x)＝0，解得x＝.

當(dāng)0<x<時，f′(x)<0，f(x)在上是單調(diào)減函數(shù)；

當(dāng)x>時，f′(x)>0，f(x)在上是單調(diào)增函數(shù)．

所以當(dāng)x＝時，f′(x)有極小值，

為f＝2－2ln 2.

因為e>2，所以f(x)的極小值，

為f＝2(1－ln 2)＝2ln>0.

所以當(dāng)k＝0時，f(x)>0對一切x>0恒成立．

(3)證明：

f(x)＝ln x－·x＋x－－ln a，

所以f′(x)＝.

令f′(x0)＝0，得kx0－2＋a＝0.

所以＝

（舍去）.

所以x0＝.

當(dāng)0<x<x0時，f′(x)<0，f(x)在(0，x0)上是單調(diào)減函數(shù)；

當(dāng)x>x0時，f′(x)>0，f(x)在(x0，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．

因此，當(dāng)x＝x0時，f(x)有極小值f(x0)．

又f(x0)＝ln－k＋，

而＝是與a無關(guān)的常數(shù)，所以ln，－k，均與a無關(guān)．

所以f(x0)是與a無關(guān)的常數(shù)．

故f(x)的極小值是一個與a無關(guān)的常數(shù)．