Question

【題目】函數(shù)f（x）=lnx+ ，g（x）=ex﹣ （e是自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R）．
（Ⅰ）求證：|f（x）|≥﹣（x﹣1）2+ ；
（Ⅱ）已知[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[1.9]=1，[﹣2.1]=﹣3，若對任意x1≥0，都存在x2＞0，使得g（x1）≥[f（x2）]成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） （x＞0）．

當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＜0，

即f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

所以，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得最小值，最小值為 ，

所以 ，

又 ，且當(dāng)x=1時(shí)等號成立，

所以， ．

（Ⅱ）記當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）的最小值為g（x）min，當(dāng)x＞0時(shí)，[f（x）]的最小值為[f（x）]min，

依題意有g(shù)（x）min≥[f（x）]min，

由（Ⅰ）知 ，所以[f（x）]min=0，則有g(shù)（x）min≥0，g'（x）=ex﹣x﹣a．

令h（x）=ex﹣x﹣a，h'（x）=ex﹣1，

而當(dāng)x≥0時(shí)，ex≥1，所以h'（x）≥0，

所以h（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，所以h（x）min=h（0）=1﹣a．

①當(dāng)1﹣a≥0，即a≤1時(shí)，h（x）≥0恒成立，即g'（x）≥0，

所以g（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，所以 ，

依題意有 ，解得 ，

所以 ．

②當(dāng)1﹣a＜0，即a＞1時(shí)，因?yàn)閔（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，且h（0）=1﹣a＜0，

若a+2＜e2，即1＜a＜e2﹣2，則h（ln（a+2））=a+2﹣ln（a+2）﹣a=2﹣ln（a+2）＞0，

所以x0∈（0，ln（a+2）），使得h（x0）=0，即 ，

且當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，h（x）＜0，即g'（x）＜0；當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，h（x）＞0，即g'（x）＞0，

所以，g（x）在（0，x0）上是減函數(shù)，在（x0，+∞）上是增函數(shù)，

所以 ，

又 ，所以 ，

所以 ，所以0＜x0≤ln2．

由 ，可令t（x）=ex﹣x，t'（x）=ex﹣1，當(dāng)x∈（0，ln2]時(shí)，ex＞1，所以t（x）在（0，ln2]上是增函數(shù)，

所以當(dāng)x∈（0，ln2]時(shí)，t（0）＜t（x）≤t（ln2），即1＜t（x）≤2﹣ln2，

所以1＜a≤2﹣ln2．

綜上，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【解析】（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù) （x＞0）．求出函數(shù)的最小值，利用二次函數(shù)的性質(zhì)推出結(jié)果．（Ⅱ）記當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）的最小值為g（x）min，當(dāng)x＞0時(shí)，[f（x）]的最小值為[f（x）]min，題目轉(zhuǎn)化為g（x）min≥[f（x）]min，h（x）=ex﹣x﹣a，h'（x）=ex﹣1，通過求解導(dǎo)數(shù)，①當(dāng)a≤1時(shí)，求出 ，②當(dāng)a＞1時(shí)，利用h（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，推出 ，轉(zhuǎn)化求出 ，轉(zhuǎn)化求解1＜a≤2﹣ln2．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．