Question

已知圓C：x²+y²-4x-6y+12=0，求：
（Ⅰ）過點(diǎn)A（1，1）的圓的切線方程；
（Ⅱ）在兩條坐標(biāo)軸上截距相等的圓的切線方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將圓C方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，找出圓心坐標(biāo)與半徑，求出圓心與點(diǎn)A的斜率，寫出所求切線方程即可；
（Ⅱ）根據(jù)切線方程在兩條坐標(biāo)軸上截距相等設(shè)切線方程為xx+y=m，根據(jù)圓心到切線的距離d等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，即可確定出切線方程．

解答：解：（Ⅰ）將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：（x-2）²+（y-3）²=1，
∴圓心C坐標(biāo)為（2，3），半徑r=1，
∴直線AC斜率為

3-1

2-1

=2，即直線AC方程為y-3=2（x-2），即2x-y-1=0，
∴過點(diǎn)A（1，1）的圓的切線方程斜率為-

1

2

，
則過點(diǎn)A（1，1）的圓的切線方程為y-1=-

1

2

（x-1），即x+2y+3=0；
（Ⅱ）根據(jù)題意設(shè)所求切線方程為x+y=m，
∵圓心到切線的距離d=r，
∴

|2+3+m|

2

=1，即m=-5±

2

，
則所求切線方程為x+y+5-

2

=0或x+y+5+

2

=0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓的切線方程，以及直線的截距式方程，涉及的知識(shí)有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系，直線的點(diǎn)斜式方程，點(diǎn)到直線的距離公式，直線與圓相切時(shí)，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．