Question

3．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，點O是對角線AC與BD的交點，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中點．
（Ⅰ）求證：OM∥平面PAB；
（Ⅱ）平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅲ）當三棱錐C-PBD的體積等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$時，求PA的長．

Answer 1

分析 （I）由中位線定理可知OM∥PB，故而OM∥平面PAB；
（II）由菱形的性質(zhì)得BD⊥AC，由PA⊥平面ABCD得BD⊥PA，故BD⊥平面PAC，于是平面PBD⊥平面PAC；
（III）根據(jù)V_C-PBD=V_P-BCD，計算出S_△BCD代入體積公式得出棱錐的高PA．

解答 證明：（Ⅰ）在△PBD中，因為O，M分別是BD，PD的中點
所以OM∥PB．又OM?平面PAB，PB?平面PAB，
所以OM∥平面PAB．
（Ⅱ）因為底面ABCD是菱形，
所以BD⊥AC．
因為PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD．又AC∩PA=A，
所以BD⊥平面PAC．
又BD?平面PBD，
所以平面PBD⊥平面PAC．
解：（Ⅲ）因為底面ABCD是菱形，且AB=2，∠BAD=60°，
所以S_△BCD=$\frac{1}{2}×{2}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$．
又V_C-PBD=V_P-BCD，三棱錐P-BCD的高為PA，
所以$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×PA=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
解得$PA=\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了線面平行，面面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于基礎題．