Question

19．過點P（-1，0）作曲線f（x）=e^x的切線l．
（1）求切線l的方程；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-ax-1有唯一零點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)切點為（m，e^m），求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，再由兩點的斜率公式，可得m=0，運用斜截式方程即可得到所求切線的方程；
（2）由g（0）=0，可得x=0為g（x）的零點，由題意g（x）有唯一的零點，可得函數(shù)g（x）為單調(diào)函數(shù)，求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得g（x）為增函數(shù)，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）設(shè)切點為（m，e^m），
f（x）=e^x的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x，
可得切線的斜率為e^m，又切線過點（-1，0），
可得$\frac{{e}^{m}-0}{m+1}$=e^m，解得m=0，
即有切點為（0，1），
可得切線的方程為y=x+1；
（2）函數(shù)g（x）=f（x）-ax-1=e^x-ax-1，
由g（0）=0，可得x=0為g（x）的零點，
由題意g（x）有唯一的零點，可得函數(shù)g（x）為單調(diào)函數(shù)，
g′（x）=e^x-a，由e^x＞0，
可得a≤0時，g′（x）＞0，g（x）遞增．
則a的范圍是（-∞，0]．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的方程，注意設(shè)出切點，考查函數(shù)的零點的問題的解法，注意運用函數(shù)的單調(diào)性，考查運算能力，屬于中檔題．