Question

16．山腳平地上有一條筆直的公路，在公路上A，B，C三點(diǎn)依次測(cè)得山頂P的仰角為30°，45°，60°，已知AB=BC=1km，求山高PH．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)PH=x，由在公路上A，B，C三點(diǎn)依次測(cè)得山頂P的仰角為30°，45°，60°，可得AH=2x，BH=x，CH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．設(shè)∠CBH=α，∠ABH=π-α．在△BCH與△ABH中，分別利用余弦定理即可得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)PH=x，
∵在公路上A，B，C三點(diǎn)依次測(cè)得山頂P的仰角為30°，45°，60°，
∴AH=2x，BH=x，CH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
設(shè)∠CBH=α，∠ABH=π-α．
在△BCH與△ABH中，
分別利用余弦定理可得：$（\frac{\sqrt{3}}{3}x）^{2}$=1²+x²-2×1×x×cosα，
$（\sqrt{3}x）^{2}$=1²+x²-2×1×xcos（π-α），
相加可得：$\frac{10}{3}{x}^{2}$=2+2x²，
解得：x=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
∴山高PH=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、余弦定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．