Question

已知A_n(a_n，b_n)(n∈N^*)是曲線y＝e^x上的點(diǎn)，a₁＝a，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且滿足，a_n≠0，n＝2，3，4，…．

(I)證明：數(shù)列(n≤2)是常數(shù)數(shù)列；

(II)確定a的取值集合M，使a∈M時(shí)，數(shù)列{a_n}是單調(diào)遞增數(shù)列；

(III)證明：當(dāng)a∈M時(shí)，弦A_nA_n+1(n∈N^*)的斜率隨n單調(diào)遞增．

Answer 1

答案：
解析：

解：(I)當(dāng)時(shí)，由已知得． 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0648/0021/5960d7b70ee584f265e740640dc569b1/C/Image389.gif" width=112 HEIGHT=24>，所以．……① 　　于是．……② 　　由②－①得．……③ 　　于是．……④ 　　由④－③得，……⑤ 　　所以，即數(shù)列是常數(shù)數(shù)列． 　　(II)由①有，所以．由③有，，　　所以，． 　　而⑤表明：數(shù)列和分別是以，為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列， 　　所以，，， 　　數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列且對(duì)任意的成立． 　　且 　　． 　　即所求的取值集合是． 　　(III)解法一：弦的斜率為 　　任取，設(shè)函數(shù)，則 　　記，則， 　　當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)， 　　當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)， 　　所以時(shí)，，從而，所以在和上都是增函數(shù)． 　　由(II)知，時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞增， 　　取，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0648/0021/5960d7b70ee584f265e740640dc569b1/C/Image443.gif" width=98 height=24>，所以． 　　取，因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/0648/0021/5960d7b70ee584f265e740640dc569b1/C/Image443.gif" width=98 height=24>，所以． 　　所以，即弦的斜率隨單調(diào)遞增． 　　解法二：設(shè)函數(shù)，同解法一得，在和上都是增函數(shù)， 　　所以， 　　． 　　故，即弦的斜率隨單調(diào)遞增．