Question

8．如圖，已知直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面中，DB=4，∠DAB=∠DCB=90°，∠BDC=∠BDA=60°．
（1）求直線AC與平面BB₁C₁C所成的角正弦值；
（2）若異面直線BC₁與AC所成的角的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，求二面角B-A₁C₁-A的正切值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線和平面所成角的定義先作出線面角，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系即可求直線AC與平面BB₁C₁C所成的角正弦值；
（2）根據(jù)異面直線BC₁與AC所成的角的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，先求出直四棱柱高的值，根據(jù)二面角平面角的定義作出二面角的平面角，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系即可求二面角B-A₁C₁-A的正切值．

解答 解：（1）∵DB=4，∠DAB=∠DCB=90°，∠BDC=∠BDA=60°．
∴CD=AD=2，BC=AB=2$\sqrt{3}$，AC=2$\sqrt{3}$，
即三角形ABC是正三角形，
則AC⊥BD，
取BC的中點(diǎn)P，則AP⊥BC，AP⊥平面BB₁C₁C，
則∠ACB是直線AC與平面BB₁C₁C所成的角，
則∠ACB=60°，
則sin∠ACB=sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即直線AC與平面BB₁C₁C所成的角正弦值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）∵A₁C₁∥AC，
∴直線BC₁與A₁C₁所成的角即是直線BC₁與AC所成的角，
連接A₁B，
設(shè)A₁A=m，
則A₁B=$\sqrt{A{B}^{2}+A{{A}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{12+{m}^{2}}$，BC₁=$\sqrt{B{C}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{12+{m}^{2}}$，A₁C₁=AC=2$\sqrt{3}$，
則cos∠A₁C₁B=$\frac{{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}+B{{C}_{1}}^{2}-{A}_{1}{B}^{2}}{2{A}_{1}{C}_{1}•B{C}_{1}}$=$\frac{12+{m}^{2}+12-{m}^{2}-12}{2×2\sqrt{3}•\sqrt{{m}^{2}+12}}$=$\frac{12}{4\sqrt{3}\sqrt{{m}^{2}+12}}$，
∵異面直線BC₁與AC所成的角的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴$\frac{12}{4\sqrt{3}\sqrt{{m}^{2}+12}}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
即$\sqrt{12+{m}^{2}}$=4，則12+m²=16，
則m²=4，m=2，
取A₁C₁的中點(diǎn)F，連接FO，則FO⊥A₁C₁，
∵A₁B=BC₁=$\sqrt{12+{m}^{2}}$，
∴BF⊥A₁C₁，
即∠BFO是二面角B-A₁C₁-A的平面角，
則tan∠BFO=$\frac{OB}{OF}$=$\frac{2\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}=\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查空間角的計(jì)算，涉及異面直線所成的角，直線和平面所成的角以及二面角的求解，根據(jù)空間角的定義找出對(duì)應(yīng)的角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．