Question

3．（1）已知正數(shù)x，y滿足x+2y=1，求$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值
（2）已知x＞1，求：y=x+$\frac{4}{x-1}$最小值，并求相應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 （1）由正數(shù)x，y滿足x+2y=1，可得：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（x+2y）$（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}）$=3+$\frac{2y}{x}$+$\frac{x}{y}$，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
（2）由x＞1，變形為y=x+$\frac{4}{x-1}$=（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+1，利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（1）∵正數(shù)x，y滿足x+2y=1，
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$=（x+2y）$（\frac{1}{x}+\frac{1}{y}）$=3+$\frac{2y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥3+2$\sqrt{\frac{2y}{x}×\frac{x}{y}}$=3+2$\sqrt{2}$，當且僅當x=$\sqrt{2}$y=$\sqrt{2}$-1時取等號．
∴$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值是3+2$\sqrt{2}$．
（2）∵x＞1，
∴y=x+$\frac{4}{x-1}$=（x-1）+$\frac{4}{x-1}$+1≥2$\sqrt{（x-1）×\frac{4}{x-1}}$+1=5，當且僅當x=3時取等號．
∴x=3時，y=x+$\frac{4}{x-1}$取得最小值5．

點評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．