Question

10．已知橢圓C：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的上、下焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，上焦點F₁到直線 4x+3y+12=0的距離為3，橢圓C的離心率e=$\frac{1}{2}$．
（I）若P是橢圓C上任意一點，求|${\overrightarrow{P{F_1}}}$||${\overrightarrow{P{F_2}}}$|的取值范圍；
（II）設(shè)過橢圓C的上頂點A的直線l與橢圓交于點B（B不在y軸上），垂直于l的直線與l交于點M，與x軸交于點H，若$\overrightarrow{{F_1}B}•\overrightarrow{{F_1}H}$=0，且|${\overrightarrow{MO}}$|=|${\overrightarrow{MA}}$|，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓上焦點F₁（0，c），由F₁到直線4x+3y+12=0的距離為3，結(jié)合橢圓C的離心率$e=\frac{1}{2}$，求出橢圓C方程，推出1≤|PF₁|≤3，設(shè)$|{\overrightarrow{P{F_1}}}|=t，|{{{\overrightarrow{PF}}_2}}|=4-t$，$|{\overrightarrow{P{F_1}}}|•|{{{\overrightarrow{PF}}_2}}|=t（4-t）$=-（t-2）²+4，t=2時，然后求解$|{\overrightarrow{P{F_1}}}|•|{{{\overrightarrow{PF}}_2}}|$取值范圍．
（Ⅱ）設(shè)直線l的斜率為k，直線l的方程y-2=kx，設(shè)B（x_B，y_B），A（x_A，y_A），聯(lián)立直線與橢圓方程，求出A，B坐標(biāo)，利用$\overrightarrow{{F_1}B}•\overrightarrow{{F_1}H}=0$，求出H、M的坐標(biāo)，推出k即可求出直線l的方程．

解答 （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）由已知橢圓C方程為$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，
設(shè)橢圓上焦點F₁（0，c），由F₁到直線4x+3y+12=0的距離為3，
得$\frac{{|{3c+12}|}}{5}=3$，又橢圓C的離心率$e=\frac{1}{2}$，所以$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，又a²=b²+c²，
求得a²=4?b²=3．橢圓C方程為$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1$，
所以1≤|PF₁|≤3，設(shè)$|{\overrightarrow{P{F_1}}}|=t，|{{{\overrightarrow{PF}}_2}}|=4-t$，$|{\overrightarrow{P{F_1}}}|•|{{{\overrightarrow{PF}}_2}}|=t（4-t）$=-（t-2）²+4，t=2時，
$|{\overrightarrow{P{F_1}}}|•|{{{\overrightarrow{PF}}_2}}|$最大值為4，t=1或3時，$|{\overrightarrow{P{F_1}}}|•|{{{\overrightarrow{PF}}_2}}|$最小值為3，
$|{\overrightarrow{P{F_1}}}|•|{\overrightarrow{P{F_2}}}|$取值范圍是[3，4]．…（5分）
（Ⅱ）設(shè)直線l的斜率為k，
則直線l方程y-2=kx，設(shè)B（x_B，y_B），A（x_A，y_A），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ \frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1\end{array}\right.$，得（3k²+4）x²+12kx=0，
則有x_A=0，${x_B}=\frac{-12k}{{3{k^2}+4}}$，所以${y_B}=\frac{{-6{k^2}+8}}{{3{k^2}+4}}$，
所以$\overrightarrow{{F_1}B}=（\frac{-12k}{{3{k^2}+4}}，\frac{{8-6{k^2}}}{{3{k^2}+4}}-1）$，$\overrightarrow{{F_1}H}=（{x_H}，-1）$，
由已知$\overrightarrow{{F_1}B}•\overrightarrow{{F_1}H}=0$，
所以$\frac{-12k}{{3{k^2}+4}}•{x_H}$$+1-\frac{{-6{k^2}+8}}{{3{k^2}+4}}=0$，解得${x_H}=\frac{{9{k^2}-4}}{12k}$，$|{\overrightarrow{MO}}|=|{\overrightarrow{MA}}|$，
$x_M^2+y_M^2=x_M^2+{（{y_M}-2）^2}$，y_M=1，MH的方程$y=-\frac{1}{k}（x-\frac{{9{k^2}-4}}{12k}）$，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=kx+2\\ y=-\frac{1}{k}（x-\frac{{9{k^2}-4}}{12k}）\end{array}\right.$，
${y_M}=\frac{{9{k^2}+20}}{{12（1+{k^2}）}}=1$，解得${k^2}=\frac{8}{3}$，
所以直線l的方程為$y=±\frac{{2\sqrt{6}}}{3}x+2$．…（13分）

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，橢圓方程的求法，考查分析問題解決問題的能力．