Question

18．已知f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f（-$\frac{3}{2}$+x）=f（$\frac{3}{2}$+x），當x∈[0，$\frac{3}{2}$]時，f（x）=ln（x²-x+1），則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上的零點個數(shù)是（　�。�

• A． 3
• B． 5
• C． 7
• D． 9

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f（-$\frac{3}{2}$+x）=f（$\frac{3}{2}$+x），可得函數(shù)的周期為3，再由奇函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合已知可得f（$-\frac{3}{2}$）=f（-1）=f（0）=f（1）=f（$\frac{3}{2}$）=0，利用周期性可得函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，6]上的零點個數(shù)．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f（-$\frac{3}{2}$+x）=f（$\frac{3}{2}$+x），
∴f（$-\frac{3}{2}+x+\frac{3}{2}$）=f（$\frac{3}{2}+x+\frac{3}{2}$），可得f（x+3）=f（x），
函數(shù)f（x）的周期為3，
∵當x∈[0，$\frac{3}{2}$]時，f（x）=ln（x²-x+1），
令f（x）=0，則x²-x+1=1，解得x=0或1，
又∵函數(shù)f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，
∴在區(qū)間∈[-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$]上，有f（-1）=-f（1）=0，f（0）=0．
由f（-$\frac{3}{2}$+x）=f（$\frac{3}{2}$+x），取x=0，得
f（-$\frac{3}{2}$）=f（$\frac{3}{2}$），得f（$\frac{3}{2}$）=f（-$\frac{3}{2}$）=0，
∴f（-1）=f（1）=f（0）=f（$\frac{3}{2}$）=f（-$\frac{3}{2}$）=0．
又∵函數(shù)f（x）是周期為3的周期函數(shù)，
∴方程f（x）=0在區(qū)間[0，6]上的解有0，1，$\frac{3}{2}$，2，3，4，$\frac{9}{2}$，5，6．
共9個，
故選：D．

點評 本題考查根的存在性及根的個數(shù)判斷，考查抽象函數(shù)周期性的應用，考查邏輯思維能力與推理論證能力，屬于中檔題．