已知函數(shù)f（x）是定義在（0，+∞）上的減函數(shù)，且滿足f（xy）=f（x）+f（y），且f（
13
）=1．
（1）求f（1）與f（3）；  
（2）若f（x）+f（2-x）＜2，求x的取值范圍．
分析：（1）取x=y=1，結(jié)合題中等式解出f（1）=0．再令1=3×
1
3
代入，算出f（3）+f（
1
3
）=0，可得f（3）=-1；
（2）由2=1+1結(jié)合1=f（
1
3
）算出f（
1
9
）=2，從而將原不等式化成f[x（2-x）]＜f（
1
9
），結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與定義域建立關(guān)于x的不等式組，解之即可得出x的取值范圍．
解答：解：（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0．
因此，f（1）=f（3×
1
3
）=f（3）+f（
1
3
）=0，可得f（3）=-f（
1
3
）=-1；
（2）∵2=1+1=f（
1
3
）+f（
1
3
）=f（
1
3
×
1
3
）=f（
1
9
）
∴不等式f（x）+f（2-x）＜2可化為f[x（2-x）]＜f（
1
9
），
由f（x）為（0，+∞）上的減函數(shù)，得
x＞0
2-x＞0
x(2-x)＞
1
9
，解之得1-
2
2
3
＜x＜1+
2
2
3
，
∴x的取值范圍為（1-
2
2
3
，1+
2
2
3
）．
點評：本題給出抽象函數(shù)，研究函數(shù)的特殊的函數(shù)值并依此解關(guān)于x的不等式．著重考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性及其相互關(guān)系等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
2x+2-x
2
，g（x）=
2x-2-x
2
，
（1）計算：[f（1）]2-[g（1）]2；
（2）證明：[f（x）]2-[g（x）]2是定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f（x）=x+
a
x
的定義域為（0，+∞），且f（2）=2+
2
2
．設(shè)點P是函數(shù)圖象上的任意一點，過點P分別作直線y=x和y軸的垂線，垂足分別為M、N．
（1）求a的值．
（2）問：|PM|•|PN|是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．
（3）設(shè)O為坐標原點，求四邊形OMPN面積的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點，橫坐標為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
（O為坐標原點）．
（Ⅰ）求證：y1+y2為定值；
（Ⅱ）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，且n≥2，求Sn；
（Ⅲ）已知an=
1
6
，                          n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn為數(shù)列{an}的前n項和，若Tn＜m（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，試求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=log3
3
x
1-x
，M（x1，y1），N（x2，y2）是f（x）圖象上的兩點，且x1+x2=1．
（1）求證：y1+y2為定值；
（2）若Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+…+f（
n-1
n
）（n∈N*，N≥2），求Sn；
（3）在（2）的條件下，若an=
1
6
 ，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
（n∈N*），Tn為數(shù)列{an}的前n項和．求Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=sin（2x-
π
6
），g（x）=sin（2x+
π
3
），直線y=m與兩個相鄰函數(shù)的交點為A，B，若m變化時，AB的長度是一個定值，則AB的值是（　�。�

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