Question

在△ABC中，若三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列且A＜B＜C，則cosAcosC的取值范圍是（　　）

• A、（-

  1

  2

  ，

  1

  4

  ]
• B、[-

  3

  4

  ，

  1

  4

  ]
• C、（-

  1

  2

  ，

  1

  4

  ）
• D、（-

  3

  4

  ，

  1

  4

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：解三角形

分析：根據(jù)三個(gè)角成等差數(shù)列求得B，進(jìn)而利用兩角和公式把cosAcosC轉(zhuǎn)化為關(guān)于A的三角函數(shù)，最后根據(jù)A的范圍求得取值范圍．

解答： 解：∵A，B，C等差，
∴A+B+C=3B=180°
∴B=60°，A∈（0，60°）
cosAcosC
=cosAcos（120°-A）
=cosA（cos120°cosA+sin120°sinA）
=cos120°[

1

2

（1+cos2A）]+sin120°[

1

2

sin2A]
=（-

1

4

）+

1

2

（cos120°cos2A+sin120°sin2A）
=-

1

4

+

1

2

cos（120°-2A）
∵120°-2A∈（0，120°）
∴cos（120°-2A）∈（-

1

2

，1）
∴cosAcosC∈（-

1

2

，

1

4

），
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了兩角和與查的余弦函數(shù)，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析和推理的能力．