Question

3．函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$+log₂$\frac{1+ax}{1-x}$為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=1．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$+log₂$\frac{1+ax}{1-x}$為奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），即f（-x）+f（x）=0，
則-$\frac{1}{x}$+log₂$\frac{1-ax}{1+x}$+$\frac{1}{x}$+log₂$\frac{1+ax}{1-x}$=0，
即log₂（$\frac{1+ax}{1-x}$•$\frac{1-ax}{1+x}$）=0，
則$\frac{1+ax}{1-x}$•$\frac{1-ax}{1+x}$=$\frac{1-{a}^{2}{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=1，
則1-a²x²=1-x²，則a²=1，
則a=±1，
當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=$\frac{1}{x}$+log₂$\frac{1-x}{1-x}$=f（x）=$\frac{1}{x}$+log₂1=$\frac{1}{x}$，此時(shí)1-x≠0且x≠0，即x≠1且x≠0，則函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，不是奇函數(shù)，不滿足條件．
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=$\frac{1}{x}$+log₂$\frac{1+x}{1-x}$=$\frac{1}{x}$+log₂$\frac{1+x}{1-x}$為奇函數(shù)，滿足條件．
故答案為：1

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．