Question

已知m＞1，直線l：x-my-

1

2

m²=0，橢圓C：

x2

m2

+y²=1的左、右焦點分別為F₁，F₂，
（Ⅰ）當直線l過F₂時，求m的值；
（Ⅱ）設直線l與橢圓C交于A，B兩點，△AF₁F₂、△BF₁F₂的重心分別為G、H，若原點在以線段GH為直徑的圓內，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）把F₂代入直線方程求得m，則直線的方程可得．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線與橢圓方程聯立消去x，根據判別式大于0求得m的范圍，且根據韋達定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，根據△AF₁F₂、△BF₁F₂的重心分別為G、H，可知G，H的坐標，進而根據原點在以線段GH為直徑的圓內，所以

OG

•

OH

＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0求得m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）由已知c=

m2-1

，l交x軸于（

m2

2

，0）為F₂（c，0），

m2

2

=

m2-1

，得m=

2

…（3分）
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F₁（-c，0），F₂（c，0），
因為△AF₁F₂、△BF₁F₂的重心分別為G、H，所以G（

x1

3

，

y1

3

），H（

x2

3

，

y2

3

）
因為原點在以線段GH為直徑的圓內，所以

OG

•

OH

＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0  …（5分）
直線l：x-my-

1

2

m²=0，橢圓C：

x2

m2

+y²=1聯立可得2y²+my+

m2

4

-1=0
則由△=m²-8（

m2

4

-1）=-m²+8＞0，知m²＜8，①…（6分）
且有y₁+y₂=-

m

2

，y₁y₂=

m2

8

-

1

2

．                                  …（7分）
∴而x₁x₂+y₁y₂=（my₁+

m2

2

）（my₂+

m2

2

）+y₁y₂=（m²+1）（

m2

8

-

1

2

）
所以

m2

8

-

1

2

＜0，即m²＜4
又因為m＞1且△＞0
所以1＜m＜2．
所以m的取值范圍是（1，2）．…（12分）

點評：本題主要考查橢圓的幾何性質，直線與橢圓，點與圓的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力．