Question

4．已知定義在實數(shù)集R的函數(shù)f（x）滿足f（1）=4且f（x）導函數(shù)f′（x）＜3，則不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集為（0，e）．

Answer 1

分析 構造函數(shù)g（x）=f（x）-3x-1，求函數(shù)的導數(shù)，判斷函數(shù)的單調性 即可得到結論．

解答 解：設t=lnx，
則不等式f（lnx）＞3lnx+1等價為f（t）＞3t+1，
設g（x）=f（x）-3x-1，
則g′（x）=f′（x）-3，
∵f（x）的導函數(shù)f′（x）＜3，
∴g′（x）=f′（x）-3＜0，此時函數(shù)單調遞減，
∵f（1）=4，
∴g（1）=f（1）-3-1=0，
則當x＞1時，g（x）＜g（1）=0，
即g（x）＜0，則此時g（x）=f（x）-3x-1＜0，
即不等式f（x）＞3x+1的解為x＜1，
即f（t）＞3t+1的解為t＜1，
由lnx＜1，解得0＜x＜e，
即不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集為（0，e），
故答案為：（0，e）．

點評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調性和導數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵，屬于中檔題．