Question

3．設(shè)正數(shù)a，b，c滿足a+b+c≤3，求證：$\frac{1}{a+1}$+$\frac{1}{b+1}$+$\frac{1}{c+1}$≥$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由于正數(shù)a，b，c滿足a+b+c≤3，由柯西不等式，結(jié)合不等式的性質(zhì)即可得證．

解答 證明：由于正數(shù)a，b，c滿足a+b+c≤3，
由柯西不等式得，
$[{（a+1）+（b+1）+（c+1）}]•（{\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}}）$
$≥{（{\sqrt{a+1}•\frac{1}{{\sqrt{a+1}}}+\sqrt{b+1}•\frac{1}{{\sqrt{b+1}}}+\sqrt{c+1}•\frac{1}{{\sqrt{c+1}}}}）^2}$=3²，
所以$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}≥\frac{9}{a+b+c+3}≥\frac{9}{3+3}=\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用柯西不等式和不等式的性質(zhì)，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．