Question

7．設函數(shù)f（x）=2x²+bx-alnx．
（1）當a=5，b=-1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對任意b∈[-3，-2]，都存在x∈（1，e²）（e為自然對數(shù)的底數(shù)），使得f（x）＜0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當a=5，b=-1時，求得函數(shù)解析式及定義域，求導，令f′（x）＜0求得單調(diào)遞減區(qū)間，f′（x）＞0，求得單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）令g（b）=xb+2x²-alnx，b∈[-3，-2]，問題轉(zhuǎn)化為在g（b）_max=g（-2）=2x²-2x-alnx＜0在（1，e²）上有解，亦即只需存在x₀∈（1，e²），使得h（x₀）＜h（1）=0即可，連續(xù)利用導函數(shù)，然后分別對當a≤2，a＞2時，看是否存在x₀∈（1，e）使得h（x₀）＜h（1）=0，進而得到結(jié)論．

解答 解：（1）當a=5，b=-1時，f（x）=2x²+bx-5lnx．x∈（0，+∞），
∴f′（x）=4x-1-$\frac{5}{x}$=$\frac{4{x}^{2}-x-5}{x}$=$\frac{（4x-5）（x+1）}{x}$，
由f′（x）＜0，得-1＜x＜$\frac{5}{4}$，由f′（x）＞0，得x＜-1或x＞$\frac{5}{4}$，
∴f（x）的遞減區(qū)間為（0，$\frac{5}{4}$），f（x）的遞增區(qū)間為（$\frac{5}{4}$，+∞），
（2）設：g（b）=xb+2x²-alnx，b∈[-3，-2]，g（b）為增函數(shù)．
根據(jù)題意可知：對任意b∈[-3，-2]，存在x∈（1，e²），使得f（x）＜0成立，則：
g（b）_max=g（-2）=2x²-2x-alnx＜0在（1，e²）上有解，
令h（x）=2x²-2x-alnx，只需存在x₀∈（1，e²），使得h（x₀）＜h（1）=0即可，
∵h′（x）=4x-2-$\frac{a}{x}$=$\frac{4{x}^{2}-2x-a}{x}$，又令F（x）=4x²-2x-a，x∈（1，e²），
F′（x）=8x-2＞0，x∈（1，e²），
∴F（x）在（1，e²）單調(diào)遞增，
∴F（x）＞F（1）=2-a，
當a≤2時，F(xiàn)（x）＞0，即h′（x）＞0，
∴h（x）在（1，e²）上增函數(shù)，
∴h（x）＞h（1）=0，不符合題意；
當a＞2時，F(xiàn)（1）=2-a＜0，F(xiàn)（e²）=4e⁴-2e²-a，
若F（e²）≤0，即a≥4e⁴-2e²=2e²（e²-1）＞2時，F(xiàn)（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）在（1，e²）上單調(diào)遞減，
又h（1）=0，
∴存在x₀∈（1，e²）使得F（x₀）＜0，
若F（e²）＞0，即2＜a＜4e⁴-2e²時，在（1，e²）上存在實數(shù)m，使得F（m）=0，即x∈（1，m）時，F(xiàn)（x）＜0，h′（x）＜0，
∴h（x）在（1，m）上單調(diào)遞減，
∴x₀∈（1，m）使得h（x₀）＜h（1）=0，
綜上所述，當a＞2時，對任意b∈[-3，-2]，存在x∈（1，e²），使得f（x）＜0成立．

點評 本題考查利用導數(shù)求函數(shù)性質(zhì)的應用，根據(jù)已知條件構(gòu)造輔助函數(shù)，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答，屬于難題．