Question

【題目】已知函數(shù) .

（1）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求正數(shù)的取值范圍；

（2）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為，，曲線在，兩點(diǎn)處的切線斜率分別為，，求證：+ .

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析.

【解析】

（1）由題意，求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為在上恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值，即可得到實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）由，得，，不妨設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得兩點(diǎn)的斜率，得到+ ，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最大值，即可作出證明.

（1） ，∴，

設(shè)，

函數(shù)在上是增函數(shù)，∴ 在上恒成立，即在上恒成立，

設(shè)，則，

，∴，∴在上是增函數(shù)，

∴，由在上恒成立，得， ，

∴，即的取值范圍是.

（2） ，由，得，，不妨設(shè).

，，， + ，

設(shè)，則，時，，時，，所以為的極大值點(diǎn)，所以的極大值即最大值為，即，

∵且，∴且，

∴，∴+ .