Question

如圖，等邊△ABC的中線AF與中位線DE相交于點G，將△AED沿DE折起到△A′ED的位置．
（1）證明：BD∥平面A′EF；
（2）當平面A′ED⊥平面BCED時，證明：直線A′E與 BD不垂直．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的性質(zhì)

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）利用中位線的性質(zhì)得到EF∥BD，再由線面平行的判定定理解答；
（2）充分利用等邊三角形的性質(zhì)，假設異面直線A′E與BD互相垂直，得到矛盾即可．

解答： 證明：（1）∵等邊△ABC的中線AF與中位線DE相交于點G，∴D，E，F(xiàn)分別是等邊三角形ABC三邊AB，AC，BC的中點，∴EF∥BD，
∵EF?平面A′EF，BD?平面A′EF，∴BD∥平面A′EF；
（2）∵△ABC是正三角形，
∴AG⊥DE，即A′G⊥DE，
又∵平面A′DE⊥平面BCED，平面A′DE∩平面BCDE=DE，A′G?平面A′DE，
∴A′G平面BCDE，且BD?平面BCDE
∴A′G⊥BD，假設異面直線A′E與BD互相垂直，即A′E⊥BD，A′G∩A′E=A′，
∴BD⊥平面A′ED，
∴BD⊥ED，
又∵DE是正三角形ABC的中位線，所以DE∥BC，
∴∠ADE=60°，與BD⊥ED矛盾，所以假設錯誤；
所以異面直線A′E與 BD不垂直．

點評：本題考查了折疊問題中線面平行的判定和面面垂直的性質(zhì)運用，本題采用了反證法證明異面直線不垂直，屬于中檔題．