Question

已知x₁和x₂是函數(shù)f（x）=x²-ax+a-2=0的兩個(gè)零點(diǎn)．
（1）若x₁和x₂的值均小于2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)m∈R，若不等式|m-5|≤|x₁-x₂|對(duì)任意實(shí)數(shù)a恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由二次函數(shù)性質(zhì)和根與系數(shù)的關(guān)系，分析得不等式組，求得，（2）恒成立轉(zhuǎn)化為最值問題求解．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-ax+a-2=0為二次函數(shù)，圖象開口向上，關(guān)于x=

a

2

，若x₁和x₂的值均小于2，則有

△＞0 a 2 ＞2 f(2)＞0

⇒a＜2，
（2）由題意，x₁和x₂是x²-ax+a-2=0的兩根，由韋達(dá)定理得x₁+x₂=a，x₁•x₂=a-2，
所以|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2-4(a-2)

=

a2-4a+8

=

(a-2)2+4

，
當(dāng)a=2時(shí)，|x₁-x₂|_min=2，
若不等式|m-5|≤|x₁-x₂|對(duì)任意實(shí)數(shù)a恒成立，
∴|m-5|≤2，
∴3≤m≤7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和恒成立問題的轉(zhuǎn)化，注意的是韋達(dá)定理和數(shù)形結(jié)合在其中的作用．