如圖：三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AC=BC=
1
2
AA1=2，∠ACB=90°，D為AB的中點，E點在BB1上且DE=
6
．
（1）求證：AB1∥平面DEC．
（2）求證：A1E⊥平面DEC．
證明：（1）∵側(cè)棱AA1⊥底面ABC，BB1∥AA1，∴BB1⊥底面ABC，∴BB1⊥BD．
在Rt△ABC，∵∠ACB=90°，∴AB2=AC2+BC2=22+22=8，解得AB=2
2
．
在Rt△BDE中，由勾股定理可得DE2=BD2+BE2，∴(
6
)2=(
2
)2+BE2，解得BE=2．
∴BE=
1
2
BB1．
連接AB1，則AB1∥DE．
∵AB1?平面DEC，DE?平面DEC，
∴AB1∥平面DEC．
（2）∵A1D2=AA12+AD2=42+(
2
)2=18，A1E2=A1B12+B1E2=(2
2
)2+22=12，DE2=6，
∴A1D2=A1E2+DE2，
∴∠AE1D=90°．∴A1E⊥ED．
在△ACB中，∵AC=CB，AD=DB，∴CD⊥AB，
∵側(cè)面AA1B1B⊥底面ABC，∴CD⊥側(cè)面AA1B1B．
∴CD⊥A1E．
∵DE∩CD=D．∴A1E⊥平面DEC．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=
2
，AF=1，M是線段EF的中點．
（1）證明：CM∥平面DFB
（2）求異面直線AM與DE所成的角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

下列各圖中，A、B為正方體的兩個頂點，M、N、P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是______

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中點．
（1）求證：BD1∥平面ACE
（2）過直線BD1是否存在與平面ACE平行的平面，若存在，請作出這個平面與長方體ABCD-A1B1C1D1的交線（請在答題卡上用黑色碳素筆和直尺作圖），并證明這兩個平面平行；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在多面體ABCDE中，AE⊥平面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F(xiàn)在CD上（不含C，D兩點）
（1）求多面體ABCDE的體積；
（2）若F為CD中點，求證：EF⊥面BCD；
（3）當(dāng)
DF
FC
的值為多少時，能使AC∥平面EFB，并給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

（y的的7•海南）如圖，在三棱錐S-ABC中，側(cè)面SAB與側(cè)面SAC均為等邊三角形，∠BAC=9的°，O為BC中點．
（Ⅰ）證明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ACB=90°，PA⊥平面ABCD，F(xiàn)是BC的中點．
（1）求證：DA⊥平面PAC；
（2）試在線段PD上確定一點G，使CG∥平面PAF，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AD，DD1的中點，AB=BC=2，A1A=2
2

（Ⅰ）求證：EF∥平面A1BC1；
（Ⅱ）在線段BC1是否存在點P，使直線A1P與C1D垂直，如果存在，求線段A1P的長，如果不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

P為矩形ABCD所在平面外一點，且PA⊥平面ABCD，P到B，C，D三點的距離分別是
5
，
17
，
13
，則P到A點的距離是______．

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