Question

6．已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}滿足：a₃+a₈=20，且a₅是a₂與a₁₄的等比中項．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式列方程組，求出首項和公差即可得出通項公式；
（2）利用裂項法求和．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₃+a₈=20，且a₅是a₂與a₁₄的等比中項，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}+9d=20}\\{（{a}_{1}+4d）^{2}=（{a}_{1}+d）（{a}_{1}+13d）}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$），
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列求和，屬于中檔題．