Question

16．不共線向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$滿足$|{\overrightarrow a}|=|{\overrightarrow b}|$，且$\overrightarrow a⊥（{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}）$，則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 根據$\overrightarrow{a}•$（$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow$）=0，得出$\overrightarrow{a}•$（$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow$）=0，代入夾角公式計算cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞即可得出答案．

解答 解：∵$\overrightarrow a⊥（{\overrightarrow a-2\overrightarrow b}）$，∴$\overrightarrow{a}•$（$\overrightarrow{a}-2\overrightarrow$）=0，
即${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=0，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{a}}^{2}$=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{a}$|²，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{3}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查了平面向量的數量積運算，屬于中檔題．