Question

1．（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁵（a為實常數）的展開式中各項系數的和為32，則該展開式中的常數項是5（用數字作答）

Answer 1

分析 先求出a的值，再利用二項展開式的通項公式求得該展開式中的常數項．

解答 解：∵（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁵（a為實常數）的展開式中各項系數的和為32，
令x=1，可得（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁵ =（1+a）⁵=32，∴a=1，
故 （$\sqrt{x}$+$\frac{a}{{x}^{2}}$）⁵ =（$\sqrt{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$）⁵ 的展開式的通項公式為T_r+1=${C}_{5}^{r}$•${x}^{\frac{5-5r}{2}}$，
令5-5r=0，可得r=1，故該展開式中的常數項是${C}_{5}^{1}$=5，
故答案為：5．

點評 本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于基礎題．