Question

13．已知a，b均為正數(shù)．
（1）若a+b=1，求$\frac{1}{a}$+$\frac{4}$的最小值；
（2）證明：（1+a+b²）（1+a²+b）≥9ab．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a+b=1，從而可得到$\frac{1}{a}+\frac{4}=\frac{a+b}{a}+\frac{4（a+b）}$，而a＞0，b＞0，這樣根據(jù)基本不等式便可求出$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值；
（2）根據(jù)三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式便可得出$1+a+^{2}≥3\root{3}{a^{2}}①$，$1+{a}^{2}+b≥3\root{3}{{a}^{2}b}②$，a=b=1時等號便同時成立，這樣不等式①×②即可得出要證明的結(jié)論．

解答 解：（1）a，b＞0，且a+b=1；
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}=\frac{a+b}{a}+\frac{4（a+b）}$
=$1+\frac{a}+\frac{4a}+4$
$≥5+2\sqrt{\frac{a}•\frac{4a}}$
=9，當且僅當$\frac{a}=\frac{4a}$，即$b=2a=\frac{2}{3}$時取“=”；
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}$的最小值為9；
（2）證明：
$1+a+^{2}≥3\root{3}{a^{2}}$，當且僅當a=b²=1，即a=b=1時取“=”；
$1+{a}^{2}+b≥3\root{3}{{a}^{2}b}$，當且僅當a²=b=1，即a=b=1時取“=”；
∴$（1+a+^{2}）（1+{a}^{2}+b）≥9\root{3}{{a}^{3}^{3}}=9ab$；
即（1+a+b²）（1+a²+b）≥9ab．

點評 考查基本不等式的應用，清楚用基本不等式$a+b≥2\sqrt{ab}$求a+b的最小值時，需滿足ab為常數(shù)，以及三個正數(shù)的算術(shù)-幾何均值不等式的應用，不等式的性質(zhì)．