函數(shù)f（x）=x+
1x
，g（x）=x，已知A0（x，0），（x0＞0），如圖，過A0作平行于y軸的直線交y=g（x）的圖象于A1，交y=f（x）的圖象于P1，要過P1作平行于x軸的直線交y=g（x）于A2，再過A2作平行于y軸的直線交y=f（x）于P2，…，這樣一直作下去；設(shè)△A1P1A2的面積為S1，…，△AkPkAk+1的面積為Sk，數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和為Tn，并設(shè)Pn（xn，yn）．
（1）求S1，S2；
（2）求證：yn2=2Tn+2n+x02；
（3）若x0=5，求證：45＜y1000＜45.1．
分析：（1）顯然△A1P1A2為等腰直角三角形，從而有S1=
|P1A1|2
2
=
(x0+
1
x0
-x0)2
2
=
1
2
x
2
0
，S2=
|P2A2|2
2
=
(y2-y1)2
2
=
(y1+
1
y1
-y1)2
2
=
1
2
y
2
1

（2）由圖可知An（yn-1，yn-1），，進(jìn)而可得Sn=
|PnAn|2
2
=
(yn-yn-1)2
2
=
(yn-1+
1
yn-1
-yn-1)2
2
=
1
2
y
2
n-1

由
y
2
n
=
y
2
n-1
+
1
y
2
n-1
+2得
y
2
n
-
y
2
n-1
=
1
y
2
n-1
+2，
y
2
n-1
-
y
2
n-2
=
1
y
2
n-2
+2，從而可證yn2=2Tn+2n+x02；
（3）由（2）
y
2
1000
 =2 
T
2
1000
 +2×1000+25＞2025＞452，
y
2
100
=2
T
2
100
+2×100+25＞225
y
2
1000
 =2
T
2
1000
 +2×1000+25＜2025+
1
x
2
0
+
1
x
2
0
+
1
y
2
100
+…+
1
y
2
100
=2025+100×
1
25
+900×
1
225
=2033＜45.12，故可得證．
解答：（1）解：顯然△A1P1A2為等腰直角三角形
S1=
|P1A1|2
2
=
(x0+
1
x0
-x0)2
2
=
1
2
x
2
0

同理S2=
|P2A2|2
2
=
(y2-y1)2
2
=
(y1+
1
y1
-y1)2
2
=
1
2
y
2
1

（2）證明：由圖可知An（yn-1，yn-1），∴yn=yn-1+
1
yn-1

Sn=
|PnAn|2
2
=
(yn-yn-1)2
2
=
(yn-1+
1
yn-1
-yn-1)2
2
=
1
2
y
2
n-1

由
y
2
n
=
y
2
n-1
+
1
y
2
n-1
+2得
y
2
n
-
y
2
n-1
=
1
y
2
n-1
+2，
y
2
n-1
-
y
2
n-2
=
1
y
2
n-2
+2
∴
y
2
1
-
x
2
0
=
1
x
2
0
+2
∴
y
2
n
-
x
2
0
=
1
x
2
0
+
1
y
2
1
+…+
1
y
2
n-1
+2n=2Tn+2n
∴yn2=2Tn+2n+x02；
（3）證明：由（2）
y
2
1000
 =2 
T
2
1000
 +2×1000+25＞2025＞452
y
2
100
=2
T
2
100
+2×100+25＞225
∵yn=yn-1+
1
yn-1

∴
y
2
1000
 =2
T
2
1000
 +2×1000+25=2025+
1
x
2
0
+
1
y
2
1
+…+
1
y
2
999

＜2025+
1
x
2
0
+
1
x
2
0
+
1
y
2
100
+…+
1
y
2
100
=2025+100×
1
25
+900×
1
225
=2033＜45.12
∴45＜y1000＜45.1．
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是數(shù)列與不等式的綜合，考查數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和，考查放縮法證明不等式，難度較大．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=lnf′（x），若對(duì)一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：深圳一模 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d，設(shè)曲線y=f（x）在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=x
f′(x)
 ， m＞0，求函數(shù)g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）設(shè)h（x）=lnf′（x），若對(duì)一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：徐州模擬 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點(diǎn)到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個(gè)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）對(duì)于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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