Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

n

n+1

a_n．
（1）寫出數(shù)列的前5項；
（2）猜想數(shù)列的通項公式．

Answer 1

分析：（1）數(shù)列{a_n}中，由a₁=1，a_n+1=

n

n+1

a_n，分別令n=1，2，3，4，能夠依次求出a₂，a₃，a₄，a₅．
（2）由數(shù)列的前5項，猜想an=

1

n

．再用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

n

n+1

a_n，
∴a₂=

1

2

×1=

1

2

，
a₃=

2

3

×

1

2

=

1

3

，
a₄=

3

4

×

1

3

=

1

4

，
a₅=

4

5

×

1

4

=

1

5

．
（2）由數(shù)列的前5項，猜想an=

1

n

．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時，a1=

1

1

=1，成立；
②假設(shè)n=k時，等式成立，即ak=

1

k

，
當(dāng)n=k+1時，a_k+1=

k

k+1

×

1

k

=

1

k+1

，也成立．
故an=

1

n

．

點評：本題考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，解題時要仔細觀察，合理猜想，注意數(shù)學(xué)歸納法的合理運用．