Question

如表是一個由正數(shù)組成的數(shù)表，數(shù)表中各行依次成等差數(shù)列，各列依次成等比數(shù)列，且公比都相等，已知a_1，1=1，a_2，3=6，a_3，2=8．

a1，1	a1，2	a1，3	a1，4	…
a2，1	a2，2	a2，3	a2，4	…
a3，1	a3，2	a3，3	a3，4	…
a4，1	a4，2	a4，3	a4，4	…
…	…	…	…	…

（1）求數(shù)列{a_n，2}的通項公式；
（2）設b_n=

a1，n

an，2

+（-1）ⁿa_1，n，n=1，2，3，…，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列的概念及簡單表示法

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設第一行依次組成的等差數(shù)列的公差是d，等比數(shù)列的公比是q＞0，可得a_2，3=qa_1，3=q（1+2d）=6，a_3，2=q²a_1，2=q²（1+d）=8，解出即可．
（2）利用等差數(shù)列的通項公式可得a_1，n=n，可得b_n=

n

2n

+(-1)n•n，可得S_n=(

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

)+[-1+2-3+…+（-1）ⁿn]，再利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式、對n分類討論即可得出．

解答： 解：（1）設第一行依次組成的等差數(shù)列的公差是d，等比數(shù)列的公比是q＞0，
則a_2，3=qa_1，3=q（1+2d）=6，
a_3，2=q²a_1，2=q²（1+d）=8，
解得：d=1，q=2，
∴a_1，2=2，
a_n，2=2×2^n-1=2ⁿ．
（2）a_1，n=1+（n-1）×1=n，
∴b_n=

a1，n

an，2

+（-1）ⁿa_1，n=

n

2n

+(-1)n•n，
∴S_n=(

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

)+[-1+2-3+…+（-1）ⁿn]，
記T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，
則

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
兩式相減得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

，
∴T_n=2-

n+2

2n

，
所以n為偶數(shù)時，S_n=

n

2

+2-

n+2

2n

；
n為奇數(shù)時，Sn=-

n+1

2

+2-

n+2

2n

．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式、“錯位相減法”、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．