Question

3．已知函數(shù)f（x），φ（x）滿足關(guān)系φ（x）=f（x）•f（x+α）（其中α是常數(shù)）．
（1）如果α=1，f（x）=2^x-1，求函數(shù)φ（x）的值域；
（2）如果α=$\frac{π}{2}$，f（x）=sinx，且對任意x∈R，存在x₁，x₂∈R，使得φ（x₁）≤φ（x）≤φ（x₂）恒成立，求|x₁-x₂|的最小值；
（3）如果f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0），求函數(shù)φ（x）的最小正周期（只需寫出結(jié)論）．

Answer 1

分析 （1）因為α=1，f（x）=2^x-1，可得φ（x）=（2^x-1）（2^x+1-1）=2•（2^x）²-3•2^x+1，令t=2^x（t＞0），所以也就是求函數(shù)y=2t²-3t+1（t＞0）的值域，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）因為$α=\frac{π}{2}$，f（x）=sinx，可得$φ（x）=sinx•sin（x+\frac{π}{2}）=\frac{1}{2}sin2x$，因為對任意x∈R，存在x₁，x₂∈R，使得φ（x₁）≤φ（x）≤φ（x₂）恒成立，所以φ（x₁），φ（x₂）應(yīng)該分別為函數(shù)φ（x）在R上的最小值和最大值，所以|x₁-x₂|的最小值就是函數(shù)φ（x）的半周期，即可得出．
（3）T=$\frac{π}{ω}$．

解答 解：（1）因為α=1，f（x）=2^x-1，
所以φ（x）=（2^x-1）（2^x+1-1）=2•（2^x）²-3•2^x+1，
令t=2^x（t＞0），所以也就是求函數(shù)y=2t²-3t+1（t＞0）的值域，
所以φ（x）的值域為$[-\frac{1}{8}，+∞）$．…（3分）
（2）因為$α=\frac{π}{2}$，f（x）=sinx，
所以$φ（x）=sinx•sin（x+\frac{π}{2}）=\frac{1}{2}sin2x$，
因為對任意x∈R，存在x₁，x₂∈R，使得φ（x₁）≤φ（x）≤φ（x₂）恒成立，
所以φ（x₁），φ（x₂）應(yīng)該分別為函數(shù)φ（x）在R上的最小值和最大值，
所以|x₁-x₂|的最小值就是函數(shù)φ（x）的半周期，
也就是|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{2}$．…（7分）
（3）T=$\frac{π}{ω}$．…（9分）

點評 本題考查了抽象函數(shù)的周期性單調(diào)性與值域、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．