Question

某地區(qū)甲校高二年級有1100人，乙校高二年級有900人，為了統(tǒng)計兩個學校高二年級在學業(yè)水平考試中的數(shù)學學科成績，采用分層抽樣的方法在兩校共抽取了200名學生的數(shù)學成績，如下表：（已知本次測試合格線是50分，兩校合格率均為100%）
甲校高二年級數(shù)學成績：

分組	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
頻數(shù)	10	25	35	30	x

乙校高二年級數(shù)學成績：

分組	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
頻數(shù)	15	30	25	y	5

   （I）計算x，y的值，并分別估計以上兩所學校數(shù)學成績的平均分（精確到1分）
（II）若數(shù)學成績不低于80分為優(yōu)秀，低于80分為非優(yōu)秀，根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)寫下面2×2列聯(lián)表，并回答能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“兩個學校的數(shù)學成績有差異？”

	甲校	乙校	總計
優(yōu)秀
非優(yōu)秀
總計

附：

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
k0	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

k²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)要抽取的人數(shù)和兩個學校的人數(shù)利用分層抽樣得到兩個學校要抽取的人數(shù)，分別做出x，y的值，利用平均數(shù)的公式做出兩個學校的平均分．
（2）根據(jù)數(shù)學成績不低于80分為優(yōu)秀，低于80分為非優(yōu)秀，看出優(yōu)秀的人數(shù)和不優(yōu)秀的人數(shù)，填出列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，寫出觀測值的計算公式，得到觀測值，同臨界值進行比較，得到在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“兩個學校的數(shù)學成績有差異”．

解答：解：（1）依題意知甲校應抽取110人，乙校應抽取90人，
∴x=10，y=15，
估計兩個學校的平均分
甲校的平均分

55×10+65×25+75×35+85×30+95×10

110

≈75
乙校的平均分

55×15+65×30+75×25+85×15+95×5

90

≈71
（Ⅱ）數(shù)學成績不低于80分為優(yōu)秀，低于80分為非優(yōu)秀，得到列聯(lián)表

	甲校	乙校	總計
優(yōu)秀	40	20	60
非優(yōu)秀	70	70	140
總計	110	90	200

k=

200(40×70-20×70)2

110×90×60×140

≈4.714
又因為4.714＞3.841故能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為“兩個學校的數(shù)學成績有差異”．

點評：本題考查獨立性檢驗，考查做出兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，考查分層抽樣方法，考查填寫列聯(lián)表，考查利用列聯(lián)表做出數(shù)據(jù)的臨界值，考查通過臨界值說明一個問題的可信程度，本題是一個綜合題目．