Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）設(shè)曲線(xiàn)與軸正半軸的交點(diǎn)為,曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為,

求證:對(duì)于任意的正實(shí)數(shù),都有；

（3）若方程為實(shí)數(shù)）有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根且,求證: .

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是 ,單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，由零點(diǎn)對(duì)定義域分段，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號(hào)得到原函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線(xiàn)方程，構(gòu)造輔助函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有，即對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有；（3）由（2）知， ，求出方程的根， ，由在單調(diào)遞減，得到，同理得到，根據(jù)不等式性質(zhì)則可證得.

試題解析：（1）由,可得,當(dāng) ,即 時(shí),函數(shù) 單調(diào)遞增;當(dāng) ,即 時(shí),函數(shù) 單調(diào)遞減.所以函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ,單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）設(shè) ,則 , 曲線(xiàn) 在點(diǎn)P處的切線(xiàn)方程為 ,即,令 即 則.

由于在 單調(diào)遞減,故在 單調(diào)遞減,又因?yàn)?/span>,所以當(dāng)時(shí), ,所以當(dāng)時(shí), ,所以 在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)x, ,對(duì)于任意的正實(shí)數(shù),都有.

（3）由（2）知 ,設(shè)方程 的根為 ,可得,因?yàn)?/span>在 單調(diào)遞減,又由（II）知 ,所以 .類(lèi)似的,設(shè)曲線(xiàn) 在原點(diǎn)處的切線(xiàn)為 可得 ,對(duì)任意的,有 即 .設(shè)方程 的根為 ,可得 ,因?yàn)?/span> 在 單調(diào)遞增,且 ,因此, 所以 .