Question

已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線交拋物線于M、N，其準(zhǔn)線l與x軸交于K點(diǎn)．
（1）寫出拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程；
（2）求證：KF平分∠MKN；
（3）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線MO、NO分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)P、Q，求|PQ|的最小值．

Answer 1

（1）解：∵拋物線y²=4x
∴拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1．
（2）證明：作MM₁⊥準(zhǔn)線 于M₁，NN₁⊥準(zhǔn)線 于N₁，則，
又由拋物線的定義有
∴
∴
∴∠KMM₁=∠KNN₁，即∠MKF=∠NKF，
∴KF平分∠MKN
（3）解：設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為，，
M，O，P三點(diǎn)共線可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由N，O，Q三點(diǎn)共線可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)直線MN的方程為x=my+1，代入拋物線y²=4x，化簡(jiǎn)可得y²-4my-4=0
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4
∴|PQ|===4
又直線MN的傾斜角為θ，則m=cotθ（0＜θ＜π），
∴|PQ|=4=
∴θ=時(shí)，|PQ|取得最小，最小值為4．
分析：（1）根據(jù)拋物線y²=4x，可得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1．
（2）證明：作MM₁⊥準(zhǔn)線 于M₁，NN₁⊥準(zhǔn)線 于N₁，則，根據(jù)拋物線的定義有，從而可得KMM₁=∠KNN₁，進(jìn)而可知KF平分∠MKN
（3）設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為，，根據(jù)M，O，P三點(diǎn)共線，確定P點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)N，O，Q三點(diǎn)共線可求出Q點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線MN的方程為x=my+1，代入拋物線y²=4x，化簡(jiǎn)可得y²-4my-4=0，從而可得PQ|===4，由此可求PQ|的最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題以拋物線為載體，考查拋物線的性質(zhì)，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線的定義，正確表示|PQ|是關(guān)鍵．