【題目】已知是圓上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條直線，它們與橢圓都只有一個公共點(diǎn)，且分別交圓于點(diǎn).

（Ⅰ）若，求直線的方程；

（Ⅱ）①求證：對于圓上的任意點(diǎn)，都有成立；

②求面積的取值范圍.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）①證明見解析；②.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)出直線方程，代入橢圓方程,利用直線與橢圓都只有一個公共點(diǎn),求出直線的斜率,即可求直線的方程；（Ⅱ）①分類討論,斜率不存在時成立，斜率存在時，利用判別式等于零可得關(guān)于的一元二次方程，由韋達(dá)定理可得成立，即可證得結(jié)論；②記原點(diǎn)到直線的距離分別為，可得，設(shè)面積為，可得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求其取值范圍.

（Ⅰ）設(shè)直線的方程為,

代入橢圓，消去，

可得，
由,可得，
設(shè)的斜率分別為，
直線的方程分別為；
（Ⅱ）①證明:當(dāng)直線的斜率有一條不存在時,不妨設(shè)無斜率
與橢圓只有一個公共點(diǎn),所以其方程為,
當(dāng)的方程為時，此時與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為，

的方程為(或，成立，
同理可證，當(dāng)的方程為時，結(jié)論成立;
當(dāng)直線的斜率都存在時,設(shè)點(diǎn)且，
設(shè)方程為,代入橢圓方程，

可得，

由化簡整理得，
，，
設(shè)的斜率分別為，

成立，
綜上,對于圓上的任意點(diǎn)，都有成立；
②記原點(diǎn)到直線的距離分別為，

因為，所以是圓的直徑，

所以，

面積為，，

，
.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上.

（1）設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，證明：為定值；

（2）若是橢圓上的兩個動點(diǎn)（都不與重合），直線的斜率互為相反數(shù)，當(dāng)時，求直線的斜率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)恰好是橢圓的右焦點(diǎn).

（1）求實數(shù)的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；

（2）過點(diǎn)任作兩條互相垂直的直線分別交拋物線于、和、點(diǎn)，求兩條弦的弦長之和的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓 的左、右焦點(diǎn)分別為，，通徑長（即過焦點(diǎn)且垂直于長軸的直線與橢圓相交所得的弦長）為3，短半軸長為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，線段上存在一點(diǎn)到，兩邊的距離相等，若，間直線的斜率是否存在？若存在，求直線的斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，PDCE為矩形，ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=CD=1，PD=.

（1）若M為PA中點(diǎn)，求證:AC∥平面MDE；

（2）求直線PE與平面PBC所成角的正弦值.

（3）在PC上是否存在一點(diǎn)Q，使得平面QAD與平面PBC所成銳二面角的大小為.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)P在正方體的對角線AB上，點(diǎn)Q在正方體的棱CD上，若P為動點(diǎn)，Q為動點(diǎn)，則PQ的最小值為_____.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形PDCE為矩形，四邊形ABCD為梯形，平面PDCE⊥平面ABCD，∠BAD＝∠ADC＝90°，，，若M為PA的中點(diǎn)，PC與DE交于點(diǎn)N.

（1）求證：AC∥面MDE；

（2）求證：PE⊥MD；

（3）求點(diǎn)N到平面ABM的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】一年之計在于春，一日之計在于晨，春天是播種的季節(jié)，是希望的開端.某種植戶對一塊地的個坑進(jìn)行播種，每個坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立.對每一個坑而言，如果至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種，否則要補(bǔ)播種.

（1）當(dāng)取何值時，有3個坑要補(bǔ)播種的概率最大？最大概率為多少？

（2）當(dāng)時，用表示要補(bǔ)播種的坑的個數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，，（常數(shù)且）.

（Ⅰ）當(dāng)與的圖象相切時，求的值；

（Ⅱ）設(shè)，若存在極值，求的取值范圍.

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